यदि रेखा $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{-1}$ समतल $2x + 3y - z + 13 = 0$ को बिंदु $P$ पर और समतल $3x + y + 4z = 16$ को बिंदु $Q$ पर प्रतिच्छेद करती है,तो $PQ$ का मान क्या है?

रेखा $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ और समतल $\vec{r} \cdot (2\hat{i} + p\hat{j} + \hat{k}) = 8$ के बीच का न्यून कोण $\theta$ सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{n} = 2\hat{i} + p\hat{j} + \hat{k}$ है। यदि $\theta = \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{2}}{3} \right)$ है, तो $p$ का/के मान है/हैं:

धनात्मक दिक-कोसाइन वाली एक रेखा बिंदु $P(2,1,2)$ से होकर गुजरती है और निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है। यह रेखा समतल $2x+y+z=9$ को बिंदु $Q$ पर मिलती है। रेखाखंड $PQ$ की लंबाई $\qquad$ इकाई है।

कथन-$1$: बिंदु $A(1, 0, 7)$,रेखा $\frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-2}{3}$ में बिंदु $B(1, 6, 3)$ का प्रतिबिंब है।
कथन-$2$: रेखा $\frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-2}{3}$,$A(1, 0, 7)$ और $B(1, 6, 3)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक है।

समतलों $x+2y+3z=2$ और $x-y+z=3$ के प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले और बिंदु $(3,1,-1)$ से $\frac{2}{\sqrt{3}}$ की दूरी पर स्थित समतल का समीकरण है

बिंदु $(1,1,1)$ से गुजरने वाले और $x+2y-z+1=0$ तथा $3x-y-4z+3=0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।